A pi élete – A viszonyszám közelítésének története

A pi rendkívül érdekes szám. Már általános iskolában is találkozhatunk vele, amikor a körrel kapcsolatos számításokat tanuljuk. Rendszerint idegenkedünk ettől a furcsa valamitől, amiről a matematikatanár azt bizonygatja, hogy csupán egy számról van szó, pedig számjegyek helyett egy görög betűvel írjuk le. Aztán amikor számolni kell vele, akkor 3,14-et ütünk a számológépbe. A tanári magyarázat szerint ez csak kerekített érték, jó részünk fejében azonban évekig úgy maradnak meg a tanultak, hogy „a pi az 3,14, és kész!”

Később, a középiskolában először az irracionális számhalmaz vizsgálatakor bukkan fel példaként a pi, aztán a szögek ívmértékének megismerésekor tűnik fel ismét, látszólag teljesen új szerepkörben. A szögfüggvények tanulásakor már lépten-nyomon belebotlunk, számolunk vele, röpködnek a „kétkápi”-k, mégis biztosak lehetünk benne, hogy ez a nevezetes szám sűrű ködfátyolba burkolózik a legtöbb diák fejében.

Kép forrása: http://www.jgytf.u-szeged.hu/

A pi – mint tudjuk – a kör kerületének és átmérőjének a viszonyszáma, s mint ilyen, állandó érték. Ez az állítás olyan régóta ismert, hogy eredetét valószínűleg nem lehet kinyomozni. Az azonban bizonyosnak tűnik, hogy az arányszám megállapítását a korai időkben nem elméleti síkon, hanem mérések által akarták meghatározni. Ebből itt két érdekességet emelünk ki.

Az egyik legkorábbi számítást a Kr. e. 1650 körülre datálható egyiptomi Rhind papirusz adja meg.

„Példa egy kerek csűrre, amelynek (átmérője) 9, (magassága) 10. Vond le a 9-ből a kilenced részét, vagyis 1-et, a maradék 8. Szorozd meg 8-cal, ez lesz 64. Szorozd meg 10-zel a 64-et, ez lesz 640. Add hozzá a felét, ez lesz 960. Ez lesz az űrtartalma harban.” (Kákosy László fordítása)

A kör területképlete alapján

, ahol d a kör átmérője. A konkrét feladat szerint ezt meg kell szorozni 1,5-tel és a magassággal, hogy a használt mértékegységek közötti átváltás megtörténjen.

A pi értékére ebből a következő közelítés adódik:

A másik számítást pedig igen meglepő módon a Bibliában találjuk, mégpedig a Királyok első könyvében, amely a salamoni építkezéseket írja le.

„És csinála egy öntött hengert, mely egyik szélétől fogva a másik széléig tíz sing volt, köröskörül kerek, és öt sing magas, és a kerületit harmincz sing zsinór érte vala körül.” (Kir. I.7,23)

Ez a Kr. e. 950 körül keletkezett sor rendkívül érdekes számunkra, ugyanis jól megnézve a pi értékét háromban állapítja meg. Napjaink igényeit tekintve ez nem túl pontos becslés, de nem volt az a maga idejében sem, hiszen a korábbi Rhind papirusz jóval pontosabb értéket állapított meg. Salamon mesterembereinek védelmében megjegyezzük, hogy a tárgy a leírás alapján egy igen terebélyes sárgaréz öntvény lehetett, melynek elkészítésekor a nagyfokú geometriai pontosság nem volt lehetséges, és valószínűleg nem is volt szükséges.

Arhhimédész – A kép forrása: wikipedia

Az első teoretikus számítás valószínűsíthetően a szirakúzai Arkhimédész (Kr. e. 287–212) nevéhez fűződik. Ő a következő becslést tette:

.

Ez pedig igen figyelemre méltó eredmény. Ha becsléseinek átlagát vesszük, 3,1418-at kapunk, ami mindössze 0,0002-vel tér el a pi értékétől.

Arkhimédész munkája nagyon hosszú ideig meghatározta a kutatást, s új számítási módszert egészen a Kr. u. 17. század elejéig nem dolgoztak ki. Természetesen voltak eközben olyanok, akik Arkhimédész módszerét használva pontosították eredményét. A teljesség igénye nélkül álljon itt néhányuk eredményükkel együtt:

Ptolemaiosz (Kr. u. 150): 3,14166

Al-Khwarizmi (Kr. u. 800 körül): 3,1416

Fibonacci (1220): 3,141818

Al-Kashi (1430): 3,14159265358979

Viète (1593): 3,1415926536

Romanus (1593): 3,141592653589793

Ludolph Van Ceulen (1596): 3,1415926535897932384626433832795029 (35 számjegy!)

Utóbbit nem árt megjegyeznünk, hiszen számításai azt az eredményt is hozták számára, hogy az utókor a pi-t Ludolph-féle számként is ismeri. A pi elnevezés Euler-től származik, ő javasolta 1739-ben, hogy periféria (kerület) görög szó kezdőbetűje jelölje ezt az arányszámot.

Az európai reneszánsz a tudományok újjászületését is magával hozta, amelynek logikus következménye volt, hogy a pi iránt is újra érdeklődni kezdtek. Az egyik legkorábbi új formula John Wallis (1616–1703) nevéhez fűződik, aki az 1656-ban publikált Arithmetica infinitorum című munkájában egy olyan sorozatot adott meg, amelynek határértéke p/2.

Az ebből a korból való legismertebb képlet azonban a következő:

Az utóbbi formulát egyesek Leibniznek (1646–1716) tulajdonítják, ám valószínűsíthetően James Gregory (1638–1675) előbb fedezte fel. Mindkét becslésben megkapó, hogy annak ellenére, hogy a pi problematikája a geometriából ered, a közelítések pusztán aritmetikaiak. A pi értékének kiszámítása szempontjából azonban nem ez a lényeges kérdés, hanem az, hogy mennyi számolást igényel használatuk. Sajnos irreálisan sokat, ezért ezekkel a formulákkal nem lehet ezt a folyamatot hatékonyan végezni. Gregory azonban egy másik formulát is megadott.

James Gregory – Kép forrása: wikipedia

Amennyiben x helyére 1-et írunk, megkapjuk Gregory első formuláját.

1706-ban azonban John Machin Gregory eredményeit felhasználva még újabb formulát adott meg:

Ez a formula messze hatékonyabb volt az eddigieknél, és ettől kezdve csak és kizárólag az határozta meg, hogy hány számjegyig tudja valaki megadni a pi értékét, hogy mennyi időt szánt rá, ugyanis az arcus tangens kiszámítása nem egy ördöngös feladat: Taylor-sor alkalmazásával történik, egész pontosan a következő formulával:

Machin 100 számjegyig jutott el. 1719-ben Thomas Fantet de Lagny a fenti formulával 112 helyes számjegyet kapott. 1789-ben Georg Freiherr von Vega 126, majd 1794-ben 136 helyet állapított meg. Rutherford 1841-ben 152 helyes számjegyig jutott, majd 1853-ban 440-ig.

A legtovább azonban William Shanks jutott, aki 1873-ban publikált munkájában 707 számjegynyi pontossággal állapította meg a pi értékét. Ebből azonban csak 527 volt helyes, ez azonban csak 1945-ben derült ki, amikor Ferguson egy másik formulát () alkalmazva rájött, hogy Shanks tévedett, amikor az 528. számjegyet számolta, és az utána következő jegyek ennek következtében nem helyesek. Az utolsó számítógép nélküli számítást is ő tette közzé 1946-ban, amikor 620 számjegyig jutott el. Az első komputeres számítást az ENIAC típusú számítógéppel végezték 1949-ben, és 2037 számjegyig jutottak. A számítástechnika fejlődése egyre nagyobb teljesítményű számítógépeket biztosít a  pi értékének kiszámítására. A legfrissebb számítás 13 300 000 000 000 számjegyes pontossággal határozta meg a jeles szám értékét.

Szőts Zoltán Oszkár

Felhasznált irodalom:

Sain Márton: Nincs királyi út! (Matematikatörténet). Budapest, 1986.

Kákosy László: Az ókori Egyiptom története és kultúrája. Budapest, 2002.

http://www.jgytf.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/2001/pi/

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/

http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node12.html

http://www.earthmatrix.com/ancient/pi.htm

http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes

http://www.numberworld.org/y-cruncher/

https://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80

https://hu.wikipedia.org/wiki/Pi_(sz%C3%A1m)

Ezt olvastad?

Róma harcosa, avagy milyen az, amikor az ókorról történész ír regényt?

A történész vagy latinista nem tudja levetkőzni magát, még akkor sem, ha végre szakirodalom helyett szórakoztató irodalom olvasására adja a

X